当您发现银行卡被ATM机吞掉时，首先不要慌张，保持冷静是解决问题的第一步。通常情况下，ATM机会吞卡是因为操作失误、密码输入错误次数过多或卡片本身存在问题。接下来，您可以按照以下步骤处理：

第一步，确认吞卡原因。检查周围环境是否安全，确保没有可疑人员接近。然后联系银行客服热线，说明具体情况，获取专业指导。同时，记录下吞卡的时间和地点，方便后续查询。

第二步，前往银行网点领取银行卡。携带本人身份证件及吞卡凭证（如有），前往ATM机所属银行的营业网点办理领卡手续。部分银行可能需要提前预约，请耐心等待工作人员安排。

第三步，检查账户安全。领回银行卡后，建议立即修改交易密码，并检查近期账户明细，确保资金无异常变动。如果怀疑存在盗刷风险，及时向警方报案并联系银行冻结账户。

总之，银行卡被吞虽然令人困扰，但只要妥善应对，完全可以避免不必要的麻烦。平时使用ATM机时也应注意细节，减少类似情况的发生。