核心结论：数学归纳法是计算 n 阶行列式非常经典的方法，思路就是先验证 n 等于 1 或者 n 等于 2 的时候行列式成立，然后假设当 n 等于 k 的时候结论成立，再利用按行按列展开，把 n 等于 k+1 阶行列式降阶，转化成 k 阶行列式，代入归纳假设，推导出 n=k+1 也成立，最后完成证明。这种方法特别适合三对角行列式、范德蒙德行列式、有递推关系的 n 阶行列式，也就是展开之后可以得到递推公式 Dₙ = aDₙ₋₁ + bDₙ₋₂这类题型，是线性代数考试高频大题。

数学归纳法标准两步

1 基例验证：取最小阶数，一般 n=1，有的题需要 n=2，算出 D₁，D₂，确认符合猜想的通项公式

2 归纳递推：假设 n=k 时，Dₖ等于猜想通项，对 Dₖ₊₁按某一行或者列展开，降阶得到递推关系式，把 Dₖ代入递推式，证明 Dₖ₊₁也满足通项，归纳成立

关键点：很多行列式展开之后是二阶递推 Dₙ = p Dₙ₋₁ + q Dₙ₋₂，这种除了普通归纳法，也可以先解递推数列通项，再用归纳法验证。

经典例题 三对角行列式

Dn​=​ac0⋮0​bac⋮0​0ba⋮0​………⋱…​000⋮a​​第一步 基例

n=1，D₁=a

n=2，D₂=a²-bc

第二步 对 Dₙ按第一行展开

Dₙ = a Dₙ₋₁ - bc Dₙ₋₂

得到二阶线性递推，然后猜想通项，再数学归纳法证明。

另一经典 范德蒙德行列式

范德蒙德行列式

Dn​=​1x1​x12​⋮x1n−1​​1x2​x22​⋮x2n−1​​………⋱…​1xn​xn2​⋮xnn−1​​​

归纳法思路：

基例 n=2，D₂=x₂-x₁

假设 n=k 成立，对 n=k+1 范德蒙德，做行变换，把第 k 行往上消元，降阶，提取公因子之后得到 k 阶范德蒙德，代入归纳假设，得到 Dₖ₊₁ = ∏(xⱼ - xᵢ)，i

做题常见易错点

1 基例只写 n=1，但是递推是二阶递推，必须同时验证 n=2，否则归纳不严谨

2 按行展开符号出错，代数余子式的正负号 (-1)^(i+j) 很容易算错

3 猜想通项错误，前面算 D₁ D₂ D₃的时候算错，后面归纳全部失效

4 混淆数学归纳法和递推法，归纳法是先猜想通项再证明，不是只写出递推式就算完成题目

什么时候优先选用归纳法

✅ 行列式阶数是 n，元素有规律，展开之后可以得到 Dₙ和低阶行列式的递推关系

✅ 范德蒙德、三对角、箭形行列式化简之后能递推

❌ 如果行列式没有递推结构，不适合硬套归纳法，优先考虑化三角、加边法、拆行法

【常见问题】

问题 1 n 阶行列式用数学归纳法一定要验证 n=2 吗

回答 1 如果递推是一阶递推 Dₙ=pDₙ₋₁，只需要验证 n=1；如果是二阶递推 Dₙ=pDₙ₋₁+qDₙ₋₂，必须同时验证 n=1 和 n=2，归纳证明才严谨

问题 2 范德蒙德行列式可以用数学归纳法证明吗

回答 1 可以，范德蒙德行列式是数学归纳法证明 n 阶行列式的经典例题，通过行变换降阶转化成低阶范德蒙德，代入归纳假设完成证明

问题 3 归纳法和递推法有什么区别

回答 1 递推法只是求出 Dₙ的递推关系式，数学归纳法是在递推基础上猜想通项公式，并且严格证明通项成立，考试大题一般要求完整归纳证明

问题 4 三对角行列式为什么适合归纳法

回答 1 三对角行列式按第一行展开之后天然得到二阶递推 Dₙ=aDₙ₋₁-bcDₙ₋₂，非常适配数学归纳法，是必考题型

【免责申明】

本文为线性代数解题方法学习参考，考试答题请按照教材规范书写行列式展开与归纳证明步骤。